TY  - THES
T1  - Ein stark konsistenter Kleinst-Quadrate-Schätzer in einem linearen Fuzzy-Regressionsmodell mit fuzzy Parametern und fuzzy abhängigen Variablen
A1  - Stahl,Christoph
Y1  - 2004/09/09
N2  - Ziel der Arbeit ist die Vorstellung eines linearen Fuzzy-Regressionsmodells, die Herleitung eines Schätzverfahrens und die statistische Absicherung des Schätzverfahrens. Dazu werden in den ersten beiden Kapiteln die benötigten Grundlagen bereitgestellt. In Kapitel 1 erfolgt die Definition von Fuzzy-Mengen als Verallgemeinerung klassischer Mengen. Fuzzy-Mengen bieten die Möglichkeit nichtstochastische Unschärfe, die in der klassischen Statistik weitgehend vernachlässigt wurde, in die Modellbildung miteinzubeziehen. In Kapitel 2 wird durch die Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen nichtstochastische Unschärfe und stochastische Unschärfe kombiniert. Wichtige Kenngrößen von Zufallsvariablen, nämlich Erwartungswert und Varianz, werden auf den Fall von Fuzzy-Zufallsvariablen übertragen. In Kapitel 3 wird das in der Arbeit untersuchte Fuzzy-Regressionmodell vorgestellt. Dabei ist zunächst die Frage zu klären, welche der beteiligten Größen als fuzzy angenommen werden. Am Beispiel "Kreditwürdigkeit" wird erläutert, dass eine scharfe Modellierung der abhängigen Variablen nicht immer adäquat ist. Somit wird die abhängige Variable als fuzzy angenommen. Gleichzeitig wird die abhängige Variable als Zufallsvariable modelliert. Dies dient zum einen dazu, die Tatsache zu modellieren, dass der vermutete lineare Zusammenhang nur "im Mittel" gültig ist. Zum anderen ist nur so eine statistische Absicherung des vorgeschlagenen Schätzverfahrens möglich. Im vorgestellten Modell wird weiterhin angenommen, dass die unabhängigen Variablen als scharf anzusehen sind. Bei der Kreditwürdigkeitsprüfung ist dies nicht unplausibel, da zumeist scharfe Daten abgefragt werden. Nimmt man jedoch an, dass die abhängige Variable eine "echte" Fuzzy-Zufallsvariable ist und die unabhängigen Variablen scharf sind, so folgt daraus zwangsläufig, dass die unbekannten Regressionsparameter fuzzy sein müssen. Somit ergibt sich ein lineares Fuzzy-Regressionsmodell mit fuzzy abhängigen Variablen und fuzzy Parametern. Ein wichtiges Ergebnis ist die Herleitung von Bedingungen, die die Identifizierbarkeit des Parametervektors im vorgestellten linearen Fuzzy-Regressionsmodell gewährleisten. Kapitel 4 dient der Vorstellung eines Schätzverfahrens zur Schätzung des unbekannten Parametervektors. Idee ist dabei die Verwendung eines Kleinst-Quadrate-Ansatzes. Mittels der in Kapitel 1 vorgestellten Metrik wird ein Minimierungsproblem aufgestellt. Wesentliche Ergebnisse des Kapitels sind, dass das Minimierungsproblem eindeutig lösbar ist und dass durch die Lösung des Minimierungsproblems eine Schätzfunktion für den unbekannten fuzzy Parametervektor definiert wird. Der so definierte Schätzer wird dann als Kleinst-Quadrate-Schätzer bezeichnet. In Kapitel 5 wird dann eine statistische Absicherung des in Kapitel 4 vorgestellten Kleinst-Quadrate-Schätzers vorgenommen. Es wird gezeigt, dass der KQ-Schätzer unter "optimalen" Bedingungen beliebig "gute" Ergebnisse liefert. Nachgewiesen wird die starke Konsistenz, also die P-fast sichere Konvergenz der Folge von KQ-Schätzfunktionen gegen den unbekannten wahren Parametervektor. Somit wird in der Arbeit ein Regressionsmodell vorgestellt, das im Vergleich zu klassischen scharfen Regressionsmodellen eine flexiblere Modellierung zulässt. Ebenso wird eine statistische Absicherung der vorgestellten Schätzmethode vorgenommen.
KW  - Fuzzy-Menge;  Fuzzy-Zufallsvariable;, Lineares Regressionsmodell ; Methode der kleinsten Quadrate; Starke Konsistenz
CY  - Saarbrücken
PB  - Universitäts- und Landesbibliothek
AD  - Postfach 151141, 66041 Saarbrücken
UR  - http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/329
ER  -