TY  - THES
T1  - Drinfeld'sche Modulkurven und Modulformen über dem affinen Koordinatenring einer elliptischen Kurve
A1  - Keller,Alice
Y1  - 2011/07/05
N2  - Drinfeld-Moduln über globalen Funktionenkörpern sind das Analogon zu elliptischen Kurven über den komplexen Zahlen. Die Theorie der Drinfeld-Moduln ist weit entwickelt. Aber es gibt im gewissen Sinne nur ein Referenzbeispiel, nämlich Drinfeld-Moduln (vom Rang 2) über dem Polynomring mathbb{F}_{q}[T]. In dieser Arbeit stellen wir eine zweite Klasse von Beispielen vor: Drinfeld-Moduln vom Rang 2 über dem affinen Koordinatenring A:=mathbb{F}_{q}[E] einer elliptischen Kurve. Seien K=mbox{Quot}(A) und hat{K}_{infty} die Vervollständigung von K an der Stelle Unendlich. Zunächst stellen wir die bekannten Ergebnissse kurz vor, wie beispielsweise den Quotienten mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} des Bruhat-Tits-Baumes mathcal{T} zur mbox{PGL}(2,hat{K}_{infty}), der von Takahashi beschrieben wurde. Danach verbinden wir diese Ergebnisse und entwickeln unsere eigenen. Auf diese Weise erhalten wir explizit die 1-1-Korrespondenz der Knoten von mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} mit den Modulgarben über dem Schema der elliptischen Kurve, die Dimension 2 und eine affin trivale Determinante haben. Hier untersuchen wir auch die Konstantenerweiterungen von mathbb{F}_{q}left(Eright) und die Zusammenhänge zwischen mathcal{T} und mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} für verschiedene Konstantenkörper. Ein zweiter Schwerpunkt ist die Beschreibung von Modulformen. Sowohl für die Eisensteinreihen vom Gewicht q - 1 als auch für die kanonische Modulform triangle geben wir die ersten Terme der Laurentreihenentwicklung in allen Spitzen an. Daraus können wir dann die lineare Unabhängigkeit der GL(2,A)-invarianten Eisensteinreihen gleichen Gewichtes ableiten. Darüber hinaus geben wir eine Formel an, mit der sich die Dimension des Raumes der Modulformen vom Gewicht k und Typ m bestimmen läßt. Zudem zeigen wir, daß die Thetareihen GL(2,A)-invariant sind. Daher definieren wir die j-Invarianten als Thetafunktionen. Wir stellen die (q-1)-te Potenz einer j-Invariante als Quotient zweier Modulformen dar und bestimmen die ersten Terme der Laurentreihenentwicklung einer j-Invarianten in der Spitze Unendlich.
KW  - Drinfeld-Modul
KW  - Elliptische Kurve
KW  - Konstante
KW  - Modulform
CY  - Saarbrücken
PB  - Universitäts- und Landesbibliothek
AD  - Postfach 151141, 66041 Saarbrücken
UR  - http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2011/3835
ER  -