Saturation-based decision procedures for fixed domain and minimal model validity

Abstract

Superposition is an established decision procedure for a variety of first-order logic theories represented by sets of clauses. A satisfiable theory, saturated by superposition, implicitly defines a minimal Herbrand model for the theory. This raises the question in how far superposition calculi can be employed for reasoning about such minimal models. This is indeed often possible when existential properties are considered. However, proving universal properties directly leads to a modification of the minimal model's termgenerated domain, as new Skolem functions are introduced. For many applications, this is not desired because it changes the problem. In this thesis, I propose the first superposition calculus that can explicitly represent existentially quantified variables and can thus compute with respect to a given fixed domain. It does not eliminate existential variables by Skolemization, but handles them using additional constraints with which each clause is annotated. This calculus is sound and refutationally complete in the limit for a fixed domain semantics. For saturated Horn theories and classes of positive formulas, the calculus is even complete for proving properties of the minimal model itself, going beyond the scope of known superpositionbased approaches. The calculus is applicable to every set of clauses with equality and does not rely on any syntactic restrictions of the input. Extensions of the calculus lead to various new decision procedures for minimal model validity. A main feature of these decision procedures is that even the validity of queries containing one quantifier alternation can be decided. In particular, I prove that the validity of any formula with at most one quantifier alternation is decidable in models represented by a finite set of atoms and that the validity of several classes of such formulas is decidable in models represented by so-called disjunctions of implicit generalizations. Moreover, I show that the decision of minimal model validity can be reduced to the superposition-based decision of first-order validity for models of a class of predicative Horn clauses where all function symbols are at most unary.

Superposition ist eine bewährte Entscheidungsprozedur für eine Vielzahl von Theorien in Prädikatenlogik erster Stufe, die durch Klauseln repräsentiert sind. Eine erfüllbare und bezüglich Superposition saturierte Theorie definiert ein minimales Herbrand-Modell dieser Theorie. Dies wirft die Frage auf, inwiefern Superpositionskalküle zur Argumentation in solchen minimalen Modellen verwendet werden können. Das ist bei der Betrachtung existenziell quantifizierter Eigenschaften tatsächlich oft möglich. Die Analyseuniversell quantifizierter Eigenschaften führt jedoch unmittelbar zu einer Modifizierung der termgenerierten Domäne des minimalen Modells, da neue Skolemfunktionen eingeführt werden. Für viele Anwendungen ist dies unerwünscht, da es die Problemstellung verändert. In dieser Arbeit stelle ich den ersten Superpositionskalkül vor, der existenziell quantifizierte Variablen explizit darstellen und daher Berechnungen über einer gegebenen festen Domäne anstellen kann. In ihm werden existenziell quantifizierte Variablen nicht durch Skolemisierung eliminiert sondern mithilfe zusätzlicher Constraints gehandhabt, mit denen jede Klausel versehen wird. Dieser Kalkül ist korrekt und im Grenzwert widerspruchsvollständig für eine domänenspezifische Semantik. Für saturierte Horntheorien und Klassen positiver Formeln ist der Kalkül sogar korrekt für den Beweis von Eigenschaften des minimalen Modells selbst. Dies übersteigt die Möglichkeiten bisheriger superpositionsbasierter Ansätze. Der Kalkül ist auf beliebige Klauselmengen mit Gleichheit anwendbar und erlegt der Eingabe keine syntaktischen Beschränkungen auf. Erweiterungen des Kalküls führen zu verschiedenen neuen Entscheidungsverfahren für die Gültigkeit in minimalen Modellen. Ein Hauptmerkmal dieser Verfahren ist es, dass selbst die Gültigkeit von Anfragen entscheidbar ist, die einen Quantorenwechsel enthalten. Insbesondere beweise ich, dass die Gültigkeit jeder Formel mit höchstens einem Quantorenwechsel in durch endlich viele Atome repräsentierten Modellen entscheidbar ist, und gleiches gilt für die Gültigkeit mehrerer Klassen solcher Formeln in durch so genannte Disjunktionen impliziter Verallgemeinerungen repräsentieren Modellen. Außerdem zeige ich, dass für eine Klasse prädikativer Hornklauseln, bei denen alle vorkommenden Funktionssymbole maximal einstellig sind, die Entscheidbarkeit der Gültigkeit in minimalen Modellen auf superpositionsbasierte Entscheidbarkeit in Prädikatenlogik erster Stufe reduziert werden kann.