Stetigkeitsaussagen über den Boltzmannschen Kollisionsoperator

Abstract

Diese Dissertation befasst sich hauptsächlich mit der Stetigkeit des Boltzmannschen Kollisionsoperators auf normierten und metrischen Räumen. Die für die Kollisionskerne des Operators getroffenen Annahmen sind im Wesentlichen äquivalent zur Grad-Bedingung. Als Funktionenräume werden die gewichteten Lebesgue-, Sobolev- und Besselpotentialräume betrachtet. Bei den entsprechenden Normabschätzungen werden die beteiligten Konstanten bis auf wenige Ausnahmen explizit angegeben. Desweiteren werden die Lösungen des Anfangswertproblems für die räumlich homogene Boltzmann-Gleichung hinsichtlich der zeitlichen Entwicklung der L_{1}-Momente und der Stabiblität bezüglich der Anfangsbedingung untersucht. Die Gelerkin-Petrov-Verfahren zur numerischen Approximation der räumlich homogenen Gleichung werden von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachten.

This thesis deals mainly with continuity properties of the Boltzmann collision operator in normed and metric spaces. The collision kernel of the operator is supposed to meet requirements which are essentially equivalent to Grad's cutoff assumption. Function spaces considered in this thesis are the weighted Lebesgue, Sobolev and Bessel potential spaces. Up to a few exceptions, all constants involved in the estimates are given in explicit form. Further considerations deal with the solutions to the initial value problem for the spatially homogeneous Boltzmann equation. Here, the evolution of moments in L_{1} and stability with respect to the initial condition are investigated. Galerkin-Petrov methods for the numerical approximation for the spatially homogeneous problem are considered from a general point of view.