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Preprint (Vorabdruck) zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-46324
URL: http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2012/4632/


The distribution of group structures on elliptic curves over finite prime fields

Gekeler, Ernst-Ulrich

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Freie Schlagwörter (Englisch): elliptic curves over finite fields , group structures , counting functions
Institut: Fachrichtung 6.1 - Mathematik
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Preprint (Vorabdruck)
Schriftenreihe: Preprint / Fachrichtung Mathematik, Universit├Ąt des Saarlandes
Bandnummer: 164
Sprache: Englisch
Erstellungsjahr: 2006
Publikationsdatum: 06.03.2012
Kurzfassung auf Englisch: We determine the probability that a randomly chosen elliptic curve E/\mathbb{F}_{p} over a randomly chosen prime field \mathbb{F}_{p} has an \ell-primary part E(\mathbb{F}_{p})[\ell^{\infty}] isomorphic with a fixed abelian \ell-group H_{\alpha,\beta}^{(l)}=\mathbb{Z}/\ell^{\alpha}\times\mathbb{Z}/\ell^{\beta}.
We show that the probability agrees with the one predicted by a natural though unproven equidistribution hypothesis for Frobenius elements in GL(2,\mathbb{Z}_{\ell}).
Probabilities for "\left|E(\mathbb{F}_{p})\right| divisible by n", "E(\mathbb{F}_{p}) cyclic" and expectations for the number of elements of precise order n in E(\mathbb{F}_{p}) are derived, both for unbiased E/\mathbb{F}_{p} and for E/\mathbb{F}_{p} with p\equiv1(\ell^{r}).
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