The enumeration of real tropical curves

Abstract

Enumerative tropical geometry allows to solve technical problems from enumerative algebraic geometry using combinatorial methods. This is possible due to the degenerative process of tropicaliziation, which e.g. transforms algebraic curves into metric graphs with specific properties. Well known results from complex algebraic geometry, such as the invariance of enumerative numbers, the Kontsevich formula to count rational curves in the plane or the Caporaso-Harris formula are easier to obtain. Enumerative real geometry, however, has resisted for a long time to the complex approach. Here, the tropical approach can show its advantage by producing recursive formulas for invariants of real rational curves through generic points in the plane, which are special Welschinger numbers. In the case of only real points the invariance of the numbers and recursive formulas have already been proven by purely tropical means. A major contribution of the present work is the treatment of the case of arbitrary points. Via the introduction of new, at the moment purely tropical invariants, which we call broccoli numbers, we can prove the invariance of the corresponding Welschinger numbers and also formulas to compute them. Furthermore, this approach indicates the possibility to define invariants of real curves of any genus. Moreover, results characterizing points in special position in tropical enumerative problems have been obtained.

Die enumerative tropische Geometrie erlaubt es, schwierige Probleme aus der algebraischen Geometrie mit kombinatorischen Methoden zu lösen. Möglich ist dies durch den degenerativen Prozess der Tropikalisierung, der z.B. algebraische Kurven in metrische Graphen mit speziellen Eigenschaften überführt. Bereits bekannte Resultate aus der komplexen Geometrie, wie die Invarianz von enumerativen Zahlen, die Kontsevich-Formel zum Zählen von rationalen Kurven in der Ebene oder die Caporaso-Harris-Formel lassen sich so mit weniger Aufwand gewinnen. Die enumerative reelle Geometrie hingegen hat sich lange dem komplexen Ansatz widersetzt. Hier konnte die tropische Herangehensweise ihre Stärken ausspielen und z.B. rekursive Formeln für Invarianten von reellen rationalen Kurven durch generische Punkte in der Ebene, d.h. speziellen Welschinger-Zahlen, hervorbringen. Im Fall von nur reellen Punkten konnten die Invarianz der Zahlen und rekursive Formeln bereits tropisch bewiesen werden. Ein wesentlicher Beitrag dieser Arbeit ist die Behandlung des Falls von beliebigen Punkten. Mithilfe von neuen, bislang rein tropischen Invarianten, den Broccoli-Zahlen, können wir die Invarianz der entsprechenden Welschinger-Zahlen zeigen und Formeln zu ihrer Berechnung angeben. Ferner zeigt dieser Ansatz die Möglichkeit auf, Invarianten für reelle Kurven vom Geschlecht g zu definieren. Außerdem konnten Resultate zur Charakterisierung von Punkten in spezieller Lage in tropisch-enumerativen Problemen gewonnen werden.