Über die Fourier-Jacobizerlegung von Klingen-Eisensteinreihen

Abstract

Der VektorraumMkn der Siegelschen Modulformen vom Gewicht k und Grad n besitzt nach Klingen (siehe [Kli90]) eine Zerlegung in eine direkte Summe. Ein solcher Summand dieser Zerlegung ist dabei isomorph zum Raum der Spitzenformen vom Gewicht k und Grad m. Weiter können Siegelsche Modulformen für natürliche Zahlen r in ihre Fourier-Jacobikoeffizienten vom Grad (r, n − r) zerlegt werden. Wie Dulinski in [Dul93] gezeigt hat, lässt sich der Vektorraum der Jacobiformen vom Gewicht k, Grad (r, n − r) und Index T als direkte Summe schreiben. Dabei sind diese Summanden isomorph zu einer direkten Summe von Räumen von Jacobi-Spitzenformen vom Grad (s, n − r) und verschiedenen Indizes. Es stellt sich die Frage, wie diese Zerlegungen zusammenpassen. Dazu kann man die Summanden eines Jacobikoeffizienten einer Klingen-Eisensteinreihe bezüglich der Zerlegung von des zugehörigen Raumes betrachten. Insbesondere stellt sich die Frage wie die Fourierkoeffizienten eines solchen Summanden berechnet werden können. Für m = n oder r = 0 ist diese Fragestellung trivial, für m = 0 und r = n wurde dies von Böcherer gelöst. Sonst sind Ergebnisse nur für n = 2 unter weiteren Einschränkungen bekannt. In dieser Arbeit werde ich diese Fourierkoeffizienten für allgemeine n und ohne Einschränkungen berechnen. Dazu werden wir eine Verallgemeinerung der Garrettschen Abbildung benutzen. Wir werden zeigen dass die gesuchten Fourierkoeffizienten mit denen der Verallgemeinerung der Garrettschen Abbildung bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dies können wir benutzen um die gesuchten Fourierkoeffizienten zu berechnen.

The vector space Mkn of Siegel modular forms of weight k and degree n has a decomposition into a direct sum, where the terms of the sum are isomorphic to spaces of cusp forms of weight k and degree m. We can also decompose a Siegel modular form into Fourier Jacobi coefficients. Due to Dulinski, the vector space of Jacobi forms of weight k, degree (r, n − r), and index T can be decomposed as a direct sum. Each term of the sum is isomorphic to a direct sum of spaces of Jacobi cusp forms of degree (s, n − r) and varying indices. This leads to the question how these decompositions fit together. That is, what are the components of a Fourier Jacobi coefficient of the Klingen Eisenstein sreies in the above decomposition. In particular, we want to compute the Fourier coefficients of the summands in these spaces. This is trivial for r = 0 or m = n. The cases m = 0 and r = n were solved by Böcherer. Besides these cases there are known results only for n = 2 with some further restrictions. In the present thesis, the Fourier coefficients are computed for general n and restrictions. For that purpose, we will use a generalisation of Garrett’s map. In this dissertation I show that the desired Fourier coefficients correspond to those of the generalisation o m up to one constant. This can be used to compute the Fourier coefficients.