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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-3296
URL: http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/329/


Ein stark konsistenter Kleinst-Quadrate-Schätzer in einem linearen Fuzzy-Regressionsmodell mit fuzzy Parametern und fuzzy abhängigen Variablen

A strong consistent Least Squares estimator in a linear fuzzy regression model with fuzzy parameters and fuzzy dependent variables

Stahl, Christoph

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SWD-Schlagwörter: Fuzzy-Menge; Fuzzy-Zufallsvariable;, Lineares Regressionsmodell ; Methode der kleinsten Quadrate; Starke Konsistenz
Freie Schlagwörter (Deutsch): Fuzzy-Regressionsmodell; Identifikationsproblem
Freie Schlagwörter (Englisch): fuzzy regression model; fuzzy random variables; identification of parameters; Least Squares estimation; strong consistency
MSC - Klassifikation: 62J12 Gene
Institut: Fachrichtung 1.2 - Volkswirtschaftslehre und Statistik
Fakultät: Fakultät 1 - Rechts-und Wirtschaftswissenschaft
DDC-Sachgruppe: Statistik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Steinmetz, Volker (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 28.06.2004
Erstellungsjahr: 2004
Publikationsdatum: 09.09.2004
Kurzfassung auf Deutsch: Ziel der Arbeit ist die Vorstellung eines linearen Fuzzy-Regressionsmodells, die Herleitung eines Schätzverfahrens und die statistische Absicherung des Schätzverfahrens. Dazu werden in den ersten beiden Kapiteln die benötigten Grundlagen bereitgestellt. In Kapitel 1 erfolgt die Definition von Fuzzy-Mengen als Verallgemeinerung klassischer Mengen. Fuzzy-Mengen bieten die Möglichkeit nichtstochastische Unschärfe, die in der klassischen Statistik weitgehend vernachlässigt wurde, in die Modellbildung miteinzubeziehen. In Kapitel 2 wird durch die Definition von Fuzzy-Zufallsvariablen nichtstochastische Unschärfe und stochastische Unschärfe kombiniert. Wichtige Kenngrößen von Zufallsvariablen, nämlich Erwartungswert und Varianz, werden auf den Fall von Fuzzy-Zufallsvariablen übertragen. In Kapitel 3 wird das in der Arbeit untersuchte Fuzzy-Regressionmodell vorgestellt. Dabei ist zunächst die Frage zu klären, welche der beteiligten Größen als fuzzy angenommen werden. Am Beispiel "Kreditwürdigkeit" wird erläutert, dass eine scharfe Modellierung der abhängigen Variablen nicht immer adäquat ist. Somit wird die abhängige Variable als fuzzy angenommen. Gleichzeitig wird die abhängige Variable als Zufallsvariable modelliert. Dies dient zum einen dazu, die Tatsache zu modellieren, dass der vermutete lineare Zusammenhang nur "im Mittel" gültig ist. Zum anderen ist nur so eine statistische Absicherung des vorgeschlagenen Schätzverfahrens möglich. Im vorgestellten Modell wird weiterhin angenommen, dass die unabhängigen Variablen als scharf anzusehen sind. Bei der Kreditwürdigkeitsprüfung ist dies nicht unplausibel, da zumeist scharfe Daten abgefragt werden. Nimmt man jedoch an, dass die abhängige Variable eine "echte" Fuzzy-Zufallsvariable ist und die unabhängigen Variablen scharf sind, so folgt daraus zwangsläufig, dass die unbekannten Regressionsparameter fuzzy sein müssen. Somit ergibt sich ein lineares Fuzzy-Regressionsmodell mit fuzzy abhängigen Variablen und fuzzy Parametern. Ein wichtiges Ergebnis ist die Herleitung von Bedingungen, die die Identifizierbarkeit des Parametervektors im vorgestellten linearen Fuzzy-Regressionsmodell gewährleisten. Kapitel 4 dient der Vorstellung eines Schätzverfahrens zur Schätzung des unbekannten Parametervektors. Idee ist dabei die Verwendung eines Kleinst-Quadrate-Ansatzes. Mittels der in Kapitel 1 vorgestellten Metrik wird ein Minimierungsproblem aufgestellt. Wesentliche Ergebnisse des Kapitels sind, dass das Minimierungsproblem eindeutig lösbar ist und dass durch die Lösung des Minimierungsproblems eine Schätzfunktion für den unbekannten fuzzy Parametervektor definiert wird. Der so definierte Schätzer wird dann als Kleinst-Quadrate-Schätzer bezeichnet. In Kapitel 5 wird dann eine statistische Absicherung des in Kapitel 4 vorgestellten Kleinst-Quadrate-Schätzers vorgenommen. Es wird gezeigt, dass der KQ-Schätzer unter "optimalen" Bedingungen beliebig "gute" Ergebnisse liefert. Nachgewiesen wird die starke Konsistenz, also die P-fast sichere Konvergenz der Folge von KQ-Schätzfunktionen gegen den unbekannten wahren Parametervektor. Somit wird in der Arbeit ein Regressionsmodell vorgestellt, das im Vergleich zu klassischen scharfen Regressionsmodellen eine flexiblere Modellierung zulässt. Ebenso wird eine statistische Absicherung der vorgestellten Schätzmethode vorgenommen.
Kurzfassung auf Englisch: In this dissertation a linear fuzzy regression model is presented and an estimation method is developed. Furthermore a statistical justification for the proposed method is given. In the first two chapters we state all notions and notations needed in the dissertation. In chapter 1 the definition of fuzzy sets is given as an extension of classical sets. Fuzzy sets can be used to model nonstochastic vaqueness which was often neglected in classical statistics. In chapter 2 the definition of fuzzy random variables is used to combine nonstochastic and stochastic vaqueness. Some important concepts, the expected value and the variance of random variables, are extended to fuzzy random variables. In chapter 3 the fuzzy regression model used in the dissertation is presented. The first question to answer is which of the variables in the model are assumed to be fuzzy. The example of credit scoring shows that the use of a classical crisp modelling of the dependent variable is not adequate in some cases. Therefore the dependent variable is assumed to be fuzzy.
Simultaneously the dependent variable is modelled as a random variable. This is done to model the fact that the assumed linear correlation is valid only "in average". Furthermore a statisical justification is possible only in that case. In the presented model the independent variables are assumed to be crisp. In the case of credit scoring this is plausible, because in most cases crisp data are surveyed. Since our independent variables are assumed to be crisp, the parameter vector has to be fuzzy in order to get a fuzzy dependent variable. Therefore we discuss a linear fuzzy regression model with fuzzy parameters and fuzzy dependent variables. We present the important identification problem and develop conditions that ensure the identification of the parameter vector in the linear fuzzy regression model.In chapter 4 the method to estimate the (unknown fuzzy) parameters is discussed. The idea is to use a Least Squares approach. With the use of the metric, defined in chapter 1, a minimation problem is presented. Main results of the chapter are that the minimation problem is uniquely solvable and that the solution of the minimation problem defines an estimation function to estimate the unknown fuzzy parameter vector. This estimator is called Least Squares estimator. In chapter 5 a statistical justification of the Least Squares estimator, defined in chapter 4, is given. We show that the Least Squares estimator provides arbitrarily "good" results under "optimal" conditions. We prove the strong consistency, that means the P-almost sure convergence of the sequence of Least Squares estimation functions to the unknown true parameter vector. Therefore in the dissertation a regression model is presented that admits a more flexible modelling in comparison to the classical crisp regression models. Furthermore a statistical justification of the presented estimation method is given.

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