Iterative regularization methods for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces

Abstract

We develop iterative methods for the solution of the split feasibility problem (SFP) in Banach spaces and analyze stability and regularizing properties. The SFP consists in finding a common point in the intersection of finitely many closed convex sets, whereby some of the sets arise by imposing constraints in the range of a linear operator. In principle the SFP can be solved by cyclically projecting onto the individual sets. In applications such projection algorithms are efficient if the projections onto the individual sets are relatively simple to calculate. If the sets arise by imposing constraints in the range of a linear operator then it is in general too difficult or too costly to project onto these sets in each iterative step. In finite-dimensional euclidean spaces Byrne suggested the CQ algorithm for the solution of the SFP, which avoids projecting directly onto such sets by using gradients of suitable functionals. To solve the SFP in Banach spaces we generalize this algorithm via duality mappings, metric projections and Bregman projections. We provide the necessary theoretical framework and extend it by some further contributions. We prove convergence of the resulting methods, show how approximate data may be used, and analyze their regularizing properties by applying a discrepancy principle. Especially we are also concerned with the computation of projections onto affine subspaces that are given via the nullspace or the range of a linear operator. To this end we can use the same iterative scheme as for the SFP and we also propose generalized sequential subspace and conjugate gradient methods.

Gegenstand unserer Arbeit ist die Entwicklung von Iterationsverfahren zur Lösung des split feasibility problem (SFP) in Banachräumen und deren Untersuchung hinsichtlich Stabilität und regularisierender Eigenschaften. Das SFP besteht darin, einen gemeinsamen Punkt im Schnitt endlich vieler abgeschlossener konvexer Mengen zu finden, wobei einige der Mengen dadurch gegeben sind, dass Zwangsbedingungen im Bild eines linearen Operators auferlegt sind. Das SFP lässt sich prinzipiell dadurch lösen, dass zyklisch auf die einzelnen Mengen projeziert wird. In den Anwendungen sind solche Projektionsverfahren effizient, wenn die Projektionen auf die einzelnen Mengen relativ einfach zu berechnen sind. Wenn die Mengen jedoch durch Zwangsbedingungen im Bild eines linearen Operators gegeben sind, dann ist es i.A. zu schwierig oder zu aufwendig, in jedem Iterationsschritt auf diese Mengen zu projezieren. In endlichdimensionalen euklidischen Räumen schlug Byrne den CQ Algorithmus zur Lösung des SFP vor, bei dem nicht direkt auf solche Mengen projeziert wird, sondern Gradienten geeigneter Funktionale verwendet werden. Zur Lösung des SFP in Banachräumen verallgemeinern wir diesen Algorithmus mittels Dualitätsabbildungen, metrischer und Bregman Projektionen. Dazu stellen wir die theoretischen Grundlagen zur Verfügung und ergänzen diese durch weitere Ergebnisse. Wir zeigen die Konvergenz der resultierenden Verfahren und untersuchen sie hinsichtlich der Verwendung approximativer Daten sowie ihre regularisierenden Eigenschaften mit Hilfe eines Diskrepanzprinzips. Insbesondere beschäftigen wir uns auch mit der Berechnung von Projektionen auf affine Unterräume, die durch den Nullraum oder das Bild eines linearen Operators gegeben sind. Dazu dient das gleiche Iterationsschema wie beim SFP und darauf aufbauend schlagen wir auch entsprechend verallgemeinerte sequentielle Unterraum- und konjugierte Gradienten-Verfahren vor.