Schnelle Rekonstruktionskernberechnung in der 3D-Computertomographie

Abstract

Gegenstand dieser Arbeit ist die Berechnung eines Rekonstruktionskerns für die 3D-Röntgentransformation. Dabei wird eine analytische, exakte Rekonstruktionsformel für die 3D-Röntgentransformation bewiesen und als Grundlage für ein numerisches Rekonstruktionsverfahren verwendet. Rekonstruktionen aus virtuellen und realen Datensätzen werden präsentiert. Im ersten Teil werden die Inversionsformeln von Louis und von Katsevich vorgestellt und bewiesen. Für die Formel von Katsevich zeigen wir dabei eine neue Herleitung, die eine bessere Einordnung in die allgemeine Theorie erlaubt. Die Formel von Louis erlaubt uns zusammen mit dem Verfahren der Approximativen Inversen eine explizite Rekonstruktionskernberechnung für die Kreisgeometrie. Mit Hilfe dieses Kerns erstellen wir Rekonstruktionen sowohl aus virtuellen als auch aus echten Datensätzen. Ein Vergleich mit dem Feldkamp-Verfahren zeigt, dass unser Verfahren durchgängig mindestens gleichwertig ist, insbesondere bei stark verrauschten Daten Vorteile bringt und einen äquivalenten numerischen Aufwand hat. Das Rekonstruktionsverfahren und die numerischen Berechnungen werden für die Kreisgeometrie durchgeführt. Beim Übergang zur Spiralgeometrie benötigen wir das Crofton-Symbol einer endlichen Spirale. Dieses bestimmen wir daher im letzten Teil der Arbeit, es stellt sich als sehr komplex heraus.

The objective of this work is the computation of a reconstruction kernel for the 3D cone beam transform. We prove an analytical, exact inversion formula for the cone beam transform and use it for a numerical reconstruction algorithm. Reconstructions from both artificial and real data are presented. In the first part we present and prove both the inversion formulae of Louis and Katsevich. The novel proof for Katsevich';s formula allows a better classification with respect to the general theory. Using Louis' formula and the method of Approximate Inverse, we deduce an explicit formula for the reconstruction kernel. We apply that kernel to both artifical and real data. Comparing our results with the well-known Feldkamp algorithm, we see that our method is at least on par with Feldkamp and has a tremendous advantage when used with noisy data, while having a similar numerical complexity. The reconstruction formula and the numerical calculations are conducted for the circular geometry. For the helical geometry, we need the Crofton symbol of a helix. We therefore determine the Crofton symbol for a finite helix. It turns out that the resulting formula is very complex, which puts a new complexion onto methods avoiding the precise calculation.