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URN: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-38358
URL: http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2011/3835/


Drinfeld'sche Modulkurven und Modulformen über dem affinen Koordinatenring einer elliptischen Kurve

Keller, Alice

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SWD-Schlagwörter: Drinfeld-Modul , Elliptische Kurve , Konstante , Modulform
Institut: Fachrichtung 6.1 - Mathematik
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Gekeler, Ernst-Ulrich (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 20.07.2005
Erstellungsjahr: 2005
Publikationsdatum: 05.07.2011
Kurzfassung auf Deutsch: Drinfeld-Moduln über globalen Funktionenkörpern sind das Analogon zu elliptischen Kurven über den komplexen Zahlen. Die Theorie der Drinfeld-Moduln ist weit entwickelt. Aber es gibt im gewissen Sinne nur ein Referenzbeispiel, nämlich Drinfeld-Moduln (vom Rang 2) über dem Polynomring mathbb{F}_{q}[T]. In dieser Arbeit stellen wir eine zweite Klasse von Beispielen vor: Drinfeld-Moduln vom Rang 2 über dem affinen Koordinatenring A:=mathbb{F}_{q}[E] einer elliptischen Kurve. Seien K=mbox{Quot}(A) und hat{K}_{infty} die Vervollständigung von K an der Stelle Unendlich. Zunächst stellen wir die bekannten Ergebnissse kurz vor, wie beispielsweise den Quotienten mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} des Bruhat-Tits-Baumes mathcal{T} zur mbox{PGL}(2,hat{K}_{infty}), der von Takahashi beschrieben wurde. Danach verbinden wir diese Ergebnisse und entwickeln unsere eigenen. Auf diese Weise erhalten wir explizit die 1-1-Korrespondenz der Knoten von mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} mit den Modulgarben über dem Schema der elliptischen Kurve, die Dimension 2 und eine affin trivale Determinante haben. Hier untersuchen wir auch die Konstantenerweiterungen von mathbb{F}_{q}left(Eright) und die Zusammenhänge zwischen mathcal{T} und mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} für verschiedene Konstantenkörper. Ein zweiter Schwerpunkt ist die Beschreibung von Modulformen. Sowohl für die Eisensteinreihen vom Gewicht q - 1 als auch für die kanonische Modulform triangle geben wir die ersten Terme der Laurentreihenentwicklung in allen Spitzen an. Daraus können wir dann die lineare Unabhängigkeit der GL(2,A)-invarianten Eisensteinreihen gleichen Gewichtes ableiten. Darüber hinaus geben wir eine Formel an, mit der sich die Dimension des Raumes der Modulformen vom Gewicht k und Typ m bestimmen läßt. Zudem zeigen wir, daß die Thetareihen GL(2,A)-invariant sind. Daher definieren wir die j-Invarianten als Thetafunktionen. Wir stellen die (q-1)-te Potenz einer j-Invariante als Quotient zweier Modulformen dar und bestimmen die ersten Terme der Laurentreihenentwicklung einer j-Invarianten in der Spitze Unendlich.
Kurzfassung auf Englisch: Drinfeld modules over global function fieelds are the analogue of elliptic curves over the complex numbers. The theory of Drinfeld modules is highly developed. But there is only one standard example, namely Drinfeld modules (of rank 2) over the ring of polynomials mathbb{F}_{q}[T]. In this thesis we introduce an second class of examples: Drinfeld modules of rank 2 over the affine coordinate ring A=mathbb{F}_{q}[E] of an elliptic curve Ediagupmathbb{F}_{q}. Let K=mbox{Quot}(A). First we collect known results in this situation and introduce objects like the quotient mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} of the Bruhat Tits tree mathcal{T} described by Takahashi. Next we merge these results and develop our own. So we can explicitly give the 1-1-correspondence between the vertices of mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} and the modular sheaves with trivial determinant of dimension 2 over the scheme of the elliptic curve. We then consider constant field extensions and the connections between mathcal{T} and mbox{GL}(2,A)setminusmathcal{T} for various constant fields. Another important result is the description of certain modular forms and functions. For the Eisenstein series of weight q - 1 and the canonical modular form triangle we give the first terms of the Laurent series all cusps. So we can prove that the GL(2,A)-invariant Eisenstein series of the same weight are linearly independent. Moreover, we give a formula to calculate the dimension of the space of modular forms of weight k and type m. In addition we show that theta functions are GL(2,A)-invariant. Therefore we define the j-invariants as theta functions. Later we present a power of a j-invariantas a quotient of certain modular forms and determine the first terms of the Laurent series of these invariants at the cusp at infinity.
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