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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-62178
URL: http://scidok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2015/6217/


The simple, little and slow things count : on parameterized counting complexity

Curticapean, Radu

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SWD-Schlagwörter: Berechnungskomplexität , Parametrisierte Komplexität , Matching <Graphentheorie> , Abzählende Kombinatorik , Exponentialzeitalgorithmus , Graphpolynom
Freie Schlagwörter (Englisch): parameterized counting complexity , exponential-time hypothesis , permanent , perfect matching , graph minor
Institut: Fachrichtung 6.2 - Informatik
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
DDC-Sachgruppe: Informatik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Bläser, Markus (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 22.06.2015
Erstellungsjahr: 2015
Publikationsdatum: 05.08.2015
Kurzfassung auf Englisch: In this thesis, we study the parameterized complexity of counting problems, as introduced by Flum and Grohe. This area mainly involves questions of the following kind: On inputs x with a parameter k, can we solve a given counting problem in time f(k)*|x|^c for a function f that depends only on k? In the positive case, we call the problem fixed-parameter tractable (fpt). Otherwise, we try to prove its #W[1]-hardness, which is the parameterized analogue of #P-hardness.
We introduce a general technique that bridges parameterized counting complexity and the so-called Holant framework. We then apply this technique to the problem of counting perfect matchings (or equivalently, the permanent) subject to structural parameters of the input graph G: On the algorithmic side, we introduce a new tractable structural parameter, namely, the minimal size of an excluded single-crossing minor of G. We complement this by showing that counting perfect matchings is #W[1]-hard when parameterized by the size of an arbitrary excluded minor.
Then we turn our attention to counting general subgraphs H other than perfect matchings in a host graph G. Instead of imposing structural parameters on G, we parameterize by the size of H, giving rise to the problems #Sub(C) for fixed graph classes C: For inputs H and G with H in C, we wish to count H-copies in G. Here, C could be the class of matchings, cycles, paths, or any other recursively enumerable class. We give a full dichotomy for these problems: Either #Sub(C) has a polynomial-time algorithm or it is #W[1]-complete. Assuming that FPT and #W[1] do not coincide, we can thus precisely identify the graph classes C for which the subgraph counting problem #Sub(C) admits polynomial-time algorithms.
Furthermore, we obtain an unexpected application of our extensions to the Holant framework: We show that, given two unweighted graphs, it is C=P-complete to decide whether they have the same number of perfect matchings.
Finally, we prove conditional lower bounds for counting problems under the counting exponential-time hypothesis #ETH. This hypothesis, introduced by Dell et al., asserts that the satisfying assignments to n-variable formulas in 3-CNF cannot be counted in time 2^o(n). Building upon this, we introduce a general technique that allows to derive tight lower bounds for other counting problems, such as counting perfect matchings, the Tutte polynomial, and the matching polynomial.
Kurzfassung auf Deutsch: Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der parametrisierten Komplexität von Zählproblemen, einem von Flum und Grohe gegründeten Gebiet, in welchem Fragen der folgenden Art betrachtet werden: Können gegebene Probleme auf Eingaben x mit Parameter k in Zeit f(k)*|x|^c gelöst werden, wobei f eine Funktion ist, die nur von k abhängt? Im positiven Falle bezeichnen wir das Problem als parametrisierbar (FPT). Andernfalls versuchen wir typischerweise, dessen #W[1]-Härte zu beweisen - diese lässt sich vereinfachend als ein parametrisiertes Äquivalent der #P-Härte auffassen.
Wir führen zunächst eine allgemeine Technik ein, welche die parametrisierte Zählkomplexität mit dem sogenannten Holant-Rahmenwerk verbindet. Anschließend setzen wir diese zum Zählen perfekter Paarungen (oder äquivalent, zur Auswertung der Permanente) unter strukturellen Parametern des Eingabegraphens G ein: Wir zeigen, dass das Zählen perfekter Paarungen parametrisierbar ist durch die minimale Größe eines ausgeschlossenen Minors von G, der höchstens eine Kreuzung besitzt. Dieses algorithmische Resultat komplementieren wir durch die #W[1]-Härte des Zählens perfekter Paarungen, wenn die minimale Größe eines beliebigen ausgeschlossenen Minors als Parameter betrachtet wird.
Anschließend widmen wir uns dem Zählen beliebiger Subgraphen H in Graphen G. Anstelle von strukturellen Parametern betrachten wir die Größe von H als Parameter und erhalten hierdurch die Probleme #Sub(C) für feste Graphklassen C: Auf Eingaben H und G mit H in C gilt es, die H-Kopien in G zu zählen. Hierbei kann C die Klasse der Paarungen, Zyklen, Pfade, oder eine beliebige andere Klasse von Graphen darstellen. Wir zeigen eine vollständige Dichotomie für diese Probleme: Das Problem #Sub(C) ist entweder in P oder #W[1]-hart. Unter der gängigen Annahme, dass FPT und #W[1] nicht zusammenfallen, erhalten wir somit eine vollständige Klassifikation der Polynomialzeit-lösbaren Probleme #Sub(C).
Weiterhin erhalten wir eine unerwartete Anwendung unserer Erweiterungen des Holant-Rahmenwerks: Wir zeigen die C=P-Vollständigkeit der Frage, ob die Anzahlen perfekter Paarungen in zwei gegebenen ungewichteten Graphen übereinstimmen.
Schlussendlich zeigen wir bedingte untere Schranken für Zählprobleme unter der Zählversion der Exponentialzeithypothese #ETH, eingeführt durch Dell et al. Diese postuliert, dass die erfüllenden Belegungen in 3-KNF-Formeln mit n Variablen nicht in Zeit 2^o(n) gezählt werden können. Darauf aufbauend führen wir eine allgemeine Technik ein, die es ermöglicht, scharfe untere Schranken für andere Zählprobleme zu erhalten: Dies umfasst das Zählen perfekter Paarungen, das Tutte-Polynom und das Paarungs-Polynom.
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