Sequential subspace optimization for nonlinear inverse problems with an application in terahertz tomography

Abstract

We introduce a sequential subspace optimization (SESOP) method for the iterative solution of nonlinear inverse problems in Hilbert spaces, based on the well-known methods for linear problems. The key idea is to use multiple search directions per iteration. Their length is determined by the nonlinearity and the local character of the forward operator. This choice admits a geometric interpretation after which the method is originally named: The current iterate is projected sequentially onto (intersections of) stripes, which emerge from affine hyperplanes whose respective normal vectors are given by the search directions and contain the solution set of the unperturbed inverse problem. We prove convergence and regularization properties and present a fast method using two search directions, which is evaluated by solving a simple nonlinear problem. Furthermore, we extend our methods for complex Hilbert spaces and apply it to solve the inverse problem of terahertz tomography, a nonlinear parameter identification problem based on the Helmholtz equation, which consists in the nondestructive testing of dielectric media. The tested object is illuminated by an electromagnetic Gaussian beam and the goal is the reconstruction of the complex refractive index from measurements of the electric field. We conclude with some numerical reconstructions from synthetic data.

In der vorliegenden Arbeit stellen wir eine Erweiterung der sequentiellen Unterraum-Optimierung (SESOP) zur Lösung nichtlinearer inverser Probleme in Hilberträumen vor, welche auf den bereits bekannten Verfahren für lineare Probleme basiert. Dabei handelt es sich um eine iterative Methode, bei der in jedem Schritt mehrere Suchrichtungen verwendet werden. Die Berechnung der Schrittweite berücksichtigt die Nichtlinearität des Vorwärtsoperators und lässt eine anschauliche geometrische Interpretation zu, welche dem Verfahren ursprünglich ihren Namen gab: Die aktuelle Iterierte wird sequentiell auf (den Schnitt von) Streifen projiziert. Diese Streifen gehen aus affinen Hyperebenen hervor und enthalten die Lösungsmenge des inversen Problems bei exakten Daten. Wir zeigen Konvergenz- und Regularisierungseigenschaften des Verfahrens. Insbesondere geben wir ein schnelles Verfahren mit zwei Suchrichtungen an und evaluieren die Methode anhand eines einfachen Beispiels. Anschließend weiten wir die Methode auf komplexe Hilberträume aus und verwenden diese zur Lösung des inversen Problems der Terahertz-Tomographie. Dabei wird ein nichtleitendes, nichtmagnetisches Objekt mithilfe eines elektromagnetischen Gaußstrahls abgetastet. Das Ziel ist die Rekonstruktion des komplexen Brechungsindex aus Messungen des elektrischen Feldes. Dieses inverse Problem modellieren wir als Parameteridentifikationsproblem mithilfe der Helmholtzgleichung. Schließlich erzeugen wir für verschiedene Objekte synthetische Daten und rekonstruieren daraus den komplexen Brechungsindex.