Kontsevich-Zorich monodromy of Origamis from the aspect of Arithmeticity

Abstract

A translation surface is a compact Riemann surface obtained as a collection of finitely many polygons in the plane with glued parallel edges of the same length by translations. There is a natural action of the group of invertible real 2x2-matrices with positive determinant on the moduli space of translation surfaces by applying matrices to the polygons and regluing them by the same combinatorial relation. Under rare circumstances an orbit of this action is closed in the moduli space of translation surfaces. One class of translation surfaces where this happens are origamis, which consist of finitely many unit squares. The orbit of an origami parametrizes a family of compact Riemann surfaces. We consider the family of first singular cohomology groups with complex coefficients defined by this family of compact Riemann surfaces. It can be given the structure of a flat holomorphic vector bundle. For certain classes of origamis we will study the monodromy group of this vector bundle from the aspect of arithmeticity.

Eine Translationsfläche ist eine kompakte Riemannsche Fläche, die man dadurch erhält, dass man endlich viele Polygone in der Ebene an parallelen Kanten gleicher Länge durch Translationen verklebt. Es gibt eine natürliche Operation der Gruppe der invertierbaren reellen 2x2-Matrizen mit positiver Determinante auf dem Modulraum der Translationsflächen, indem wir die Matrizen auf die Polygone anwenden und dann erneut nach den gleichen kombinatorischen Relationen verkleben. In seltenen Fällen ist eine Bahn dieser Aktion abgeschlossen im Modulraum der Translationsflächen. Eine Klasse von Translationsflächen, für die dies eintritt, sind Origamis. Diese bestehen aus endlich vielen verklebten Einheitsquadraten. Die Bahn eines Origamis parametrisiert eine Familie kompakter Riemannscher Flächen. Wir betrachten die Familie der ersten singulären Kohomologien mit komplexen Koeffizienten, die durch diese Familie kompakter Riemannscher Flächen definiert wird. Ihr kann die Struktur eines flachen holomorphen Vektorbündels gegeben werden. Wir werden für bestimmte Klassen von Origamis die Monodromiegruppe dieses Vektorbündels unter dem Gesichtspunkt der Arithmetizität studieren.