Calibration of non-semimartingale models - an adjoint approach

Abstract

In this thesis we consider the calibration of a stochastic volatility model, where the volatility driving noise is given by a continuous process of finite p-variation, for p ∈ (1, 2). This includes fractional Brownian motion with Hurst parameter H ∈ (0.5, 1) as a relevant example for a driving noise of the volatility. The calibration will be done by the ”optimize then discretize” approach, meaning that we first analyze the gradient of the cost function corresponding to our calibration problem in continuous time. We establish a new representation of the gradient, containing the solution of an anticipating backward stochastic differential equation, which we call the adjoint equation. The advantage of the adjoint equation lies in the fact that the dimension of the equation does not depend on the number of parameters of the model. This suggests that discretizing this equation and using it in a gradient-based Monte-Carlo optimization algorithm will significantly speed up the calibration in comparison to other methods, such as finite differences. We derive a suitable discretization scheme for the adjoint equation and establish the corresponding convergence rate. These theoretical results will then be used in a numerical case study, calibrating a fractional Heston-type model to observed option prices.

In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Kalibrierung eines stochastischen Volatilitätsmodells, dessen Volatilität von einem stetigen Prozess mit endlicher p-Variation, p ∈ (1; 2), getrieben wird. Dies ermöglicht es, fraktionale Brownsche Bewegungen mit Hurst Parameter H ∈ (0, 5; 1) als relevante Beispiele für einen treibenden Prozess der Volatilität zu betrachten. Dabei gehen wir nach dem Ansatz ”Optimieren-Dann-Diskretisieren” vor, d.h. wir analysieren zuerst den Gradienten der Kostenfunktion des zugrundeliegenden Kalibrierungsproblems in stetiger Zeit. Wir leiten eine neue Darstellung dieses Gradienten her, welche die Lösung eines Endwertproblems für eine antizipierende stochastische Differentialgleichung enthält. Diese Gleichung bezeichnen wir als die adjungierte Gleichung. Der Vorteil dieser Gleichung liegt darin, dass ihre Dimension unabhängig von der Anzahl der Parameter des Modells ist. Dies führt dazu, dass die Diskretisierung dieser Gleichung und ihre Verwendung in einem gradientenbasierten Monte-Carlo-Optimierungsalgorithmus die Laufzeit der Kalibrierung im Vergleich zu anderen Methoden, wie z.B. der Finite-Differenzen- Methode, signifikant verringert. Zusätzlich entwickeln wir ein passendes Diskretisierungsschema für die adjungierte Gleichung und bestimmen die zugehörige Konvergenzrate. Diese Resultate werden dann in einer numerischen Fallstudie verwendet, um ein fraktionales Heston-Modell an beobachtete Call-Options-Preise zu kalibrieren.