On the expected number of zeros of polynomials and the real tau-conjecture

Abstract

We study the expected number of real zeros of random sparse polynomials, motivated by the real τ-conjecture. Our main results focus on random k-sparse polynomials following the standard normal distribution, i.e., their coefficients are i.i.d. random variables following this distribution. We show a Θ(√k) upper bound for the expected number of real zeros for such polynomials. In addition, we show that the real zeros of such polynomials concentrate in a small neighborhood around |x| = 1. Furthermore, we show a matching Θ(√k) lower bound for the same quantity for a specific family of such k-sparse polynomials, thus proving that the upper bound is asymptotically optimal. We generalize the techniques used to random k-sparse polynomials following absolutely continuous distributions. In particular, we show that it suffices to study the expected number of real zeros in the interval (−1, 1 ). If these distributions are in addition symmetric about 0, we show that it suffices to consider the interval ( 0, 1) . Moreover, we show that for random k-sparse polynomials following the Rademacher distribution, previous results can be adapted to the sparse case, obtaining an upper bound of Θ(√k). We survey previously known results on the number of real zeros of fixed and random polynomials, while also presenting a detailed analysis of results due to Descartes and Laguerre.

Wir untersuchen die erwartete Anzahl reellen Nullstellen von dünnbesetzten Polynomen, motiviert durch die reelle τ-Vermutung. Unsere Hauptergebnisse konzentrieren sich auf zufällige k-dünnbesetzte standardnormalverteilte Polynome, d. h., ihre Koeffizienten sind u.i.v. standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Wir zeigen eine Θ(√k) obere Schranke für die erwartete Anzahl reellen Nullstellen für solche Polynome. Außerdem zeigen wir, dass sich die reelle Nullstellen solcher Polynome in einer kleinen Umgebung um |x| = 1 konzentrieren. Darüber hinaus zeigen wir für eine bestimmte Familie solcher k-dünnbesetzten Polynome eine entsprechende Θ(√k) untere Schranke und beweisen damit, dass die obere Schranke asymptotisch optimal ist. Wir verallgemeinern diese verwendeten Techniken auf absolut stetig verteilte Polynome. Insbesondere zeigen wir, dass es ausreicht, die erwartete Anzahl reeller Nullstellen im Intervall (−1, 1) zu untersuchen. Wenn diese Verteilungen zusätzlich symmetrisch um 0 sind, zeigen wir, dass es ausreicht, das Intervall (0, 1) zu berücksichtigen. Darüber hinaus zeigen wir anhand früherer Ergebnisse eine obere Schranke von Θ(√k) für zufällige k-dünnbesetzte Rademacher-verteilte Polynome. Wir untersuchen bekannte Ergebnisse zur Anzahl reeller Nullstellen fester und zufälliger Polynome und präsentieren eine Analyse der Ergebnisse von Descartes und Laguerre.