Compact quantum groups based on combinatorial structures

Abstract

This thesis contributes to the theory of compact quantum groups, more specifically to the theory of quantum symmetries of graphs as well as quantum groups defined by tensor categories of partitions. In the first part, we study quantum symmetries of hypergraphs by introducing a corresponding quantum automorphism group. We show that this quantum group generalizes the quantum automorphism group of Bichon for classical simple and directed graphs, as well as a quantum automorphism group of Goswami and Hossain for multigraphs. Additionally, we prove that our quantum automorphism group of hypergraphs acts maximally on hypergraph C*-algebras recently introduced by Trieb, Weber and Zenner. This generalizes a result by Schmidt and Weber, where the quantum automorphism group of a graph acts maximally on the corresponding graph C*-algebra. In the second part, we study categories of spatial partitions and their associated spatial partition quantum groups in the sense of Cébron and Weber. We show that natural problems about categories of partitions are algorithmically undecidable and generalize categories of spatial partitions by introducing new base partitions. These new base partitions allow us to construct additional examples of free orthogonal quantum groups, but turn out to yield the same class of spatial partition quantum groups as before. Moreover, using our new base partitions, we are able to show that the class of spatial partition quantum groups is closed under taking projective versions, which allows us to give explicit descriptions of the projective versions of certain easy quantum groups in the sense of Banica and Speicher. This thesis contains results from the articles [33, 32, 37] by the author.

Diese Dissertation leistet einen Beitrag zur Theorie der kompakten Quantengruppen, genauer zur Theorie der Quantensymmetrien von Graphen und zu Quantengruppen, die durch Tensorkategorien von Partitionen definiert sind. Im ersten Teil untersuchen wir Quantensymmetrien von Hypergraphen, indem wir eine entsprechende Quantenautomorphismengruppe definieren. Wir zeigen, dass diese Quantengruppe die Quantenautomorphismengruppe von Bichon für klassische einfache und gerichtete Graphen, sowie die Quantenautomorphismengruppe von Goswami und Hossain für Multigraphen verallgemeinert. Darüber hinaus beweisen wir, dass unsere Quantenautomorphismengruppe maximal auf den k¨urzlich von Trieb, Weber und Zenner eingeführten Hypergraph-C∗-Algebren wirkt. Dies verallgemeinert ein Ergebnis von Schmidt und Weber, wonach die Quantenautomorphismengruppe eines Graphen maximal auf der entsprechenden Graph-C∗-Algebra wirkt. Im zweiten Teil untersuchen wir Kategorien von räumlichen Partitionen und die dadurch definierten Quantengruppen im Sinne von C´ebron und Weber. Wir zeigen, dass natürliche Probleme in Kategorien von Partitionen algorithmisch unentscheidbar sind und verallgemeinern Kategorien von räumlichen Partitionen, indem wir neue Basispartitionen einführen. Diese Basispartitionen ermöglichen die Konstruktion freier orthogonaler Quantengruppen, liefern jedoch dieselbe Klasse von Quantengruppen wie zuvor. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Klasse der auf räumlichen Partitionen basierenden Quantengruppen unter der Bildung projektiver Versionen abgeschlossen ist. Dies ermöglicht uns die explizite Beschreibung projektiver Versionen bestimmter einfacher Quantengruppen im Sinne von Banica und Speicher. Diese Dissertation enthält Ergebnisse aus den Artikeln [33, 32, 37] des Autors.